Steuerungs- und Reglungstechnik

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Grundglieder

Untersuchungsmethoden

Grafische Untersuchungsmethode

statische Untersuchung
Messung der Eingangs- und Ausgangsgrößen. Ermittelt daraus, soweit möglich, Wertepaare für die statische Untersuchung (nach Ausgleich), fertigt aus den Werten eine Kennlinie (bei mehreren Werten ein Kennlinienfeld)

dynamische Untersuchung nach Sprungeingang
Messung der Ausgangsgrößen in bestimmten zeitlichen Abständen nach einen Sprungeingang. Die Zeitfunktion im Koordinatensystem spiegelt die dynamischen Eigenschaften wieder.

dynamische Untersuchung nach Sinuseingang Messung der Ausgangsgröße im zeitlichen Verlauf nachdem am Eingang eine Sinusfunktion angelegt wurde. Dies wird bei verschiedenen Frequenzen wiederholt. Die Ausgangsgröße hat dabei die gleiche Frequenz wie der Eingang. Sie unterscheidet sich in der Phasenlage zwischen Eingang und Ausgang und der Amplitude. Hieraus kann man für die verschiedenen Frequenzen und der dazugehörige Amplitude und der Phasenlage die Ortskurve und/oder den Amplituden-Phasengang darstellen.

Rechnerische Untersuchungsmethode

Man erhält die Beziehungen von Ein- und Ausgangsgröße auf Grund von bekannten mathematischen Beziehungen. Die statische Gleichung, die Übergangsfunktion und die Differentialgleichung wird auf der Grundlage bekannter Formeln errechnet.

Da es in der Praxis, auf Grund von mechanischen, elektrischen und anderen Anschlägen, keine stetig linearen Grundglieder gibt, wird nur der Linearitätsbereich betrachtet, wenn die Eingangsgröße nur in diesen Bereich schwankt.

Dies ist eine typische Kennlinie eines linearen Gliedes mit Anschlägen. Hier wird der Bereich von Δx_a und Δx_e betrachtet. Für diesen Beeich gilt :

Δx_a = K_P · Δx_e

Statische Untersuchung

Bei der statischen Untersuchung werden die Eigenschaften des Gliedes nach dem Ende des Einschwingvorganges ermittelt. Dies rechnerisch oder grafisch erfolgen.
Hier ein Beispiel das sowohl für die statische als auch dynamische Untersuchung benutzt wird.

RC-Glied

Am RC-Glied wurden verschiedene Eingangsspannungen angelegt und nach dem Ausgleich die Ausgangsspannung gemessen. Es ergaben sich folgende Werte:

Eingang	U_e in V	0	5	10	15
Ausgang	U_ain V	0	5	10	15

Die statische Funktion wird damit so grafisch dargestellt:

Wir vorher schon erwähnt besteht folgender Zusammenhang:

ΔU_a = K · ΔU_e

Umgestellt ergibt sich folgende Gleichung:

Der Quotient ΔU_a/ΔU_e ist der Tangens des Anstiegs der Funktion:

U_a = f(U_e)

Aus der Schaltung ergibt sich:
dass die Eingangspannung U_e gleich der Summe des Spannungsabfalls über den Widerstand U_R und des Spannungsabfalls über den Kondensator, der gleichzeitig die Ausgangsspannung U_a ist.

U_e = U_R · U_a

Der Spannungsabfall über den Widerstand R ist das Produkt von den Widerstand und den Strom, der über den Widerstand fließt.

U_R = R · I

Der Strom der über den Kondensator fließt ist das Produkt der Kapazität des Kondensators mit den Differentialquotienten der Spannung über den Kondensator, also der Ausgangsspannung, nach der Zeit.

Da sich die Ausgangsspannung im eingeschwungenen Zustand (Ausgleich) nicht mehr ändert, ist der Differentialquotient der Ausgangsspannung über der Zeit Null. Wenn kein Strom fließt fällt über den Widerstand keinen Spannung ab.
Folglich ist:

U_a = U_e

oder:

U_a =K · U_e bei K = 1

Die statische Gleichung eines linearen Gliedes ist allgemein:

x_a =K · x_e

Dynamische Untersuchungsmethode

Bei der dynamischen Untersuchung werden am Eingang eines Gliedes definierte von der Zeit abhängige Signale angelegt und der Zeitfunktion des Ausganges wird untersucht.
Als Standardeingangssignal haben sich der Sprungeingang, der Anstiegseingang und der Sinuseingang bewährt.
Als Ausgang erhält man dann die entsprechende Antwort (z.B. Sprungantwort).
Bei dem Sinussignal ist zu beachten, dass die Untersuchung auch mit verschiedenen Frequenzen erfolgt, da es bei Gliedern die einen Speichercharakter (z.B. in der Elektrik der Kondensator oder in der Pneumatik ein Volumen oder Behälter) haben zu Phasenverschiebungen kommt, die z.B. in der Elektrik zu einen zu einen Blind-, Wirk- und Scheinanteil der Größe führen. Die Größen bei bei denen Phasenverschiebungen zwischen Eingangs- und Ausgangssinussignal vorhanden sind kann man sehr gut im Bereich der komplexen Zahlen abbilden.
Sehr wichtig ist auch in diesen Zusammenhang den Frequenzgang zu ermitteln. Er wird später bei der Berechnung von Gliedern und Regelkreisen unbedingt gebraucht.

Zum Sprungeingang:
Am Eingang des Gliedes wird folgende Funktion angelegt:

Die Zeitfunktion der Ausgangsgröße ist die Sprungantwort.

x_a = f(t)

Die Übergangsfunktion erhält man, durch die Division der Sprungantwort mit x_e0
Aus der Sprungantwort kann man auch die Zeitkostante bei Zeitgliedern mit Ausgleich ermitteln. Hierzu wird im Anfangsbereich der Kurve (bei t = 0) eine Tangente angelegt.

An der Stelle, wo die Tangente den Endzustand der Ausgangsgröße erreicht, kann man bei die Zeitkonstante T ablesen. Zum Zeitpunkt der Zeitkonstante hat die Ausgangsgröße 63% ihres Endwertes erreicht.

Zum Anstiegseingang:
Am Eingang des Gliedes wird folgende Funktion angelegt:

Die Zeitfunktion der Ausgangsgröße ist die Anstiegsantwort.

x_a = f(t)

Die Anstiegsantwort wird zur Ermittlung von Kennwerten herangezogen, wenn die Sprungantwort ein Impuls war.

Zum Sinuseingang:
Am Eingang des Gliedes wird folgende Funktion angelegt:

x_e = x_e0sin ωt

Die gleichmäßige Eingangssinusschwingung ist am Ausgang in gleicher Frequenz nach den Einschwingvorgang auch vorhanden. Allerdings hat das Ausgangssignal meist eine Phasenverschiebung φ und eine eine andere Amplitude.
Die Phasenverschiebung tritt durch die Speicherwirkung wie beim Kondensator, Druckbehälter oder ähnliches auf.

x_a = f(t)

Das Amplitudenverhältnis ist der Quotient aus Ausgangsamplitude x_a0 und der Eingangsamplitude x_e0.

Die Phasenverschiebung φ ist von der Frequenz abhängig.

φ = f(ω)

Die grafische Darstellung des Amplitudenverhältnisses und der Phasenverschiebung ist die Ortskurve.

F = f(jω)

Die grafische Darstellung der Ortskurve umfasst alle Amplitudenverhältnisse, Phasenverschiebungen (φ) und Frequenzen.
Für den Grenzbereich einer Schwingung ω = 0 ( Es ist eine unendlich dauernde Periodendauer der Schwingung, die eigentlich schon gar keine mehr ist.
t= 2 · Pi / ω ), gilt, dass das Amplitudenverhältnis gleich dem Übertragungsfaktor ist.

Aus der Ortskurve kann man ja auch noch die Zeitkonstante T, die auch wichtig ist, ablesen. Sie wird aus der Kreisfrequenz bei einen Phasenwinkel φ von 45° ermittelt.

Der Anfangsverlauf der Ortskurve bei ω = 0 ist der Endverlauf der Übergangsfunktion bei t = ∞ und der Anfangsverlauf der Übergangsfunktion bei t = 0 ist der Endverlauf der Ortskurve bei ω = ∞.

Differentialgleichung

Mit der Differentialgleichung lassen sich die dynamischen Vorgänge beschreiben.
In der Steuerungs- und Reglungstechnik gibt es bei der Darstellung der Differentialgleichung einige Besonderheiten. Für die Beschreibung der dynamischen Vorgänge wird der Differentialquotient (Ableitung) nach der Zeit verwendet und wird wie folgt dargestellt:

Mit den Differentialquotienten werden bei der Darstellung verschiedene Größen dargestellt. So ist die erste Ableitung vom Weg die Geschwindigkeit und die zweite Ableitung die Beschleunigung.

Zum ermitteln der Differentialgleichung wird das System in einzelne Glieder zerlegt und jedes Glied betrachtet. Lineare Differentialgleichungen erhält man von Systemen mit linearen Verhalten.
Aus der Differentialgleichung kann man die Kenngrößen des Gliedes ableiten.

Die allgemeine Form der Differentialgleichung lautet:

Aus der Differentialgleichung wird die Funktion (nicht wie sonst üblich Zahlenwerte) gesucht, die die Differentialgleichung erfüllt.
Eine häufige Form der Differentialgleichung ist die für T₁-Glied:

Zeitglieder T₁ tritt nur die erste Ableitung auf.
Die Gleichung kann umgestellt werden:

Hierbei ist der Quotient a₁/a₀ die Zeitkonstante T und
der Quotient e₀/a₀ der Übertragungsfaktor K.
Wenn man diese Größen in die Formel einsetzt erhält man:

Wenn man an einen T₁-Glied den Sprungeingang anlegt

und die Zeit bei Beginn t = 0 und x_a = 0 setzt, und die Differentialgleichung auflöst, erhält man:

Aus dieser Formel ergeben sich nach für den Ablauf der Zeitkonstante T oder eines Vielfachen von ihr folgende Werte für die Ausgangsgröße:

t	% x_a vom Endwert
T	63
2T	86
3T	95
4T	98

Frequenzgang

Mit der Frequenzgang stellt man die Ergebnisse der Untersuchung eines Gliedes mit Sinusschwingungen dar. Ich möchte probieren hier dieses Teil so einfach, wie möglich darzustellen. Mathematisch ist die Schwingungsuntersuchung nicht einfach. Aber mit den komplexen Zahlen lässt es sich einigermaßen verständlich darstellen.

Die Schwingung kann als ein sich rotierender Zeiger in der komplexen Zahlenebene dargestellt werden. Dies ist in den beiden folgenden Diagrammen dargestellt. Im ersten Diagramm rotiert der Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Die Länge des Zeigers wird von der Amplitude der Schwingung bestimmt x_e0.

Die Sinusschwingung wird durch den imaginären Anteil der Zahlenebene dargestellt.

Der reelle Anteil stellt die Kosinusfunktion dar.
Somit ergibt sich:

cos φ = x_e1 / x_e0
sin φ = x_e2 / x_e0

Die komplexe Zahl der Ziegers ist:

x_e = x_e1 + ix_e2

Wenn man die Sinus- und die Kosinusfunktion nach x_e1 bzw. nach x_e2 umstellt und in die Gleichung des Zeigers einsetzt erhält man folgende Gleichung:

x_e = x_e0 · (cos φ + i sin φ)

Dies ist eine Komplexe Zahl in trigonometrischer Form. Umgewandelt in der EULERschen Form erhält man:

x_e = x_e0 · e^iφ

Da der Zeiger in der komplexen Ebene rotiert muss er noch mit e^iωt multipliziert werden.

x_e · e^iωt = x_e0 · e^iφ · e^iωt = x_e0 · e^{i(ωt + φ)}

Diese Gleichung wieder in Die trigonometrische Form lautet:

x_e · e^iωt = x_e0 · [cos (ωt + φ) + i sin (ωt + φ)]

Die Sinusschwingung der Eingangsgröße lässt sich mit den Imaginäranteil der Funktion darstellen

f(ω) = x_e(iω)= x_e0 sin (ωt + φ)

Dabei ist x_e0 die Amplitude der Schwingung, ω die Winkelgeschwindigkeit und φ die Phasenlage.
Diese Form der Darstellung einer Schwingung ist nicht allzu einfach, aber mit dieser mathematischen Darstellung lassen sich die Berechnungen für den Regelkreis relativ einfach gestalten.
Das Ausgangssignal x_a(iω) wird genauso dargestellt.
Der Frequenzgang ist die Übergangsfunktion bei einen Sinuseingang und ist frequenzabhängig.
Daraus ergibt sich folgendes:

F(iω) = x_a(iω) / x_e(iω)

Wenn man die Gleichung umstellt kann man mit Hilfe des Frequenzganges den Ausgang berechnen

x_a(iω) = F(iω) · x_e(iω)

Bei der Übergangsfunktion wird der zeitliche Verlauf des Quotienten Ausgang / Eingang nach einen Sprungeingang ermittelt. Sie wird als Differentialgleichung dargestellt.
Beim Frequenzgang der frequenzabhängige Verlauf des Quotienten Ausgang / Eingang für den Sinuseingang mit unterschiedlichen Frequenzen ermittelt.
Da die Frequenz den Kehrwert der Zeit darstellt, kann man im weiten Sinne bei beiden Funktionen von der zeitlichen Darstellung sprechen.

Aus der Differentialgleichung kann der Frequenzgang und aus dem Frequenzgang die Differentialgleichung ermittelt werden.
Die Tabelle zur Transformation finden sie HIER.