Steuerungs- und Reglungstechnik

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Stetig lineare Grundglieder 1. Teil

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Einteilung der Grundglieder

Die Grundglieder werden nach den Übertragungsverhalten eingeteilt:

P₀-Glied
Beim P₀-Glied ist die Eingangsänderung der Ausgangsänderung proportional.
Δx_a = K · Δx_e
Hierbei ist K der proportionale Übertragungsfaktor K.
Die statische Kennlinie des P₀-Gliedes:
I₀-Glied
Beim I₀-Glied ist die Eingangsänderung der Änderungsgeschwindigkeit der Ausgangsgröße proportional.
Hierbei ist K der integrale Übertragungsfaktor K_I.
Die statische Kennlinie des I₀-Gliedes:
D₀-Glied
Beim D₀-Glied ist die Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsgröße proportional der Ausgangsänderung.
Hierbei ist K der differentiale Übertragungsfaktor K_D.
Die statische Kennlinie des D₀-Gliedes:
Zeitglieder
Bei Zeitgliedern werden der Ausgang gegenüber den Eingang verzögert. Hierbei gibt es verschiedene Zeitverhalten.
Und hier auch die statische Kennlinie für die T_n-Glieder und die T_t-Glieder:

P₀-Glied

Das P₀-Glied lässt sich am einfachsten mit einen Spannungsteiler erklären.

Hierbei ist die Eingangsspannung U_E das Eingangssignal x_e, und die Ausgangsspannung U_A ist das Ausgangssignal x_a.

Untersuchung der Sprungantwort

Die Eingangsspannung und die Ausgangsspannung sind direkt proportional, in einer Formel ausgedrückt:

und als Funktion so dargestellt:

Die Formel umgestellt nach U_A:

Für R₁ / R_ges wird K, der proportionale Übertragungsfaktor, eingesetzt und es ergibt sich:

U_A = K · U_E

Da das Eingangssignal x_e die Eingangsspannung U_E ist und das Ausgangssignal x_a die Ausgangsspannung U_A ist, ergibt sich die Übergangsfunktion:

x_a = K · x_e ( Übergangsfunktion eines P₀-Gliedes )

U_A :Ausgangsspannung
U_E :Eingangsspannung
R_ges :Gesamtwiderstand des Spannungsteilers
R₁ :Widerstand des Spannungsteiler, an den Teil Die Ausgangsspannung abfällt
K : proportionaler Übertragungsfaktor

Untersuchung der Anstiegsantwort
Nach dem Anstiegseingang folgt beim Spannungsteiler auch ein stetig lineare Funktion im Ausgang, die ansteigend ist.

f(t)U_E = U_E · t

wenn man beide Seiten mit dem proportionalen Übertragungsfaktor K multipliziert erhält man:

f(t)(U_E · K) = U_E · t · K

Da U_E · K gleich U_A ist und U_E · t gleich f(t)U_E ist, folgt:

f(t)U_A = f(t)U_E · K

Wenn man die allgemeinen Symbole, für den Eingang x_e und x_a für den Ausgang, einsetzt, folgt für ein P₀:-Glied:

f(t)x_a = f(t)x_e · K

Die Funktion der Anstiegsantwort:

Untersuchung der Sinusantwort Nachdem man am Eingang des Spannungsteilers eine Sinuswechselspannung angelegt hat, erhält man auch ein Sinusausgangssignal ohne Zeitverschiebungen. die Größe des Signals hängt nur proportional von Übertragungsfaktor ab.

x_e =x_e0 sin(ωt)

Da f(t)x_a = K · f(t)x_e ist ergibt sich:

x_a = K · x_e0sin(ωt)

Als Funktion dargestellt:

Wie aus der Formel ersichtlich folgt das Ausgangssignal unmittelbar den Eingangssignal ohne zeitlichen Verzug, dass heißt: Es tritt keine Phasenverschiebung auf (φ = 0).

Übergangsfunktion
Bei der Untersuchung der Sprungantwort hatten wir schon folgende Gleichung:

x_a = K · x_e

Wenn man die Gleichung umstellt, erhält man die Übergansfunktion in der allgemeinen Form:

x_a / x_e = K

Als Funktion dargestellt:

Frequenzgang
Die Formel für den Frequenzgang lautet:

F(iω) = = x_a(iω) / x_e(iω)

da x_a(iω) = K · x_e(iω), ergibt sich für den Frequenzgang:

F(iω) = K

Der Frequenzgang in einer Funktion dargestellt, ist die Ortskurve.

Differentialgleichung
Jetzt komme ich noch einmal auf die Formel von der Sprungantwort, die schon die allgemeine Form der Differentialgleichung darstellt:

x_a = K · x_e

Das P₀-Glied ist das einfachste Glied. Bei diesen Glied ist die Phasenverschiebung immer φ = 0, der Frequenzgang hat nur einen reellen Anteil und kein Teil der Differentialgleichung wird nach der Zeit abgeleitet.

I₀-Glied

Ein Behälter mit Flüssigkeit und einen Zulauf, wird oft benutzt um ein I₀-Glied zu erklären. Hierbei ist Q die Differenz aus Zulauf Q_zulauf und Ablauf Q_ablauf die Eingangsgröße x_e und die Höhe des Flüssgikeitsstandes des Behälters h die Ausgangsgröße x_a.

Differentialgleichung
Der Durchfluss ist die erste Ableitung des Volumen nach der Zeit.

Q = dV / dt

Das Volumen ist nur von der Höhe h abhangig, wenn die Fläche A konstant ist.

V = h · A

Aus den beiden Formeln ergibt sich:

Um die Gleichung nach den Ausgang umstellen zu können wird sie über dt integriert:

Die Gleichung wird folgendermaßen aufgelöst und umgestellt:

Hier ist dann 1/A der integrale Übertragungsfaktor K_I.
Dies in die Gleichung eingesetzt ergibt:

h = K_i ∫ Q dt

Hieraus läßt sich durch einsetzen der allgemein formulierten Größen x_e und x_a die allgemeine Form der Differentialgleichung ableiten.

x_a = K_I ∫x_e dt

Sprungantwort

Die Sprungantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sprungeingang.
Sprungeingang:

Sprungantwort:

Die allgemeine Funktion für die Sprungantwort ist dann:

x_a = K_I x_e0 t

Anstiegsantwort

Die Anstiegsantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Anstiegseingang.
Anstiegseingang:

Anstiegsantwort:

Die allgemeine Funktion für die Anstiegsantwort:

x_a = K_I · x_e0 · t²

Sinusantwort

Die Sinusantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sinuseingang.
Hierfür muss aber auch noch die Anfangsbedingung festgelegt werden, und das wird in diesen konkreten Fall sehr deutlich und auch leicht verständlich.
In der Differentialgleichung ist ein Integral enthalten, das gelöst werden muss. Die Lösung des Integrals kann mit jeder Konstante addiert werden, denn das umkehren der Rechnung durch differenzieren, wäre diese Konstante 0.
Die Anfangsbedingung wird hier mit h = 0 festgelegt.
Sinuseingang:

x_e = x_e0 sin(ωt)

Sinusantwort:
Da f(t)x_a = K_I ∫ f(t)x_e dt ergibt sich, wenn man die Eingangsfunktion einsetzt:

f(t)x_a = K_I ∫[x_e0sin (ωt)] dt

Nach Auflösung vom Integral erhält man:

f(t)x_a = K_I · x_e0 sin(ωt - 90°)

Diese Gleichung beschreibt den Sinuseingang, wenn keine Anfangsbedingung für den Ausgang festgelegt ist.
Jetzt ergibt sich aber für t = 0 der Wert -K_I · x_e0 für x_a, aber als Anfangbedingung der Funktion wurde h = 0, also x_a = 0 festgelegt. Damit die Anfangsbedingung erfüllt wird muss K_Ix_e0 zu der Auflösung des Integrals addiert werden. Damit erhält man:

f(t)x_a = K_I · x_e0 sin(ωt - 90°) + K_I x_e0

Jetzt klammern wir K_I x_e0aus.

f(t)x_a = K_I x_e0[1 + sin(ωt - 90°)]

Das Ergebnis ist auch an den Beispiel gut nachvollziehbar. Als Eingang ist die Differenz zwischen Zulaufmenge und Ablaufmenge und als Ausgang die Füllstandshöhe. Die Anfangsbedingung war der Behälter ist leer (h = 0).
Wenn man von der Eingangsfunktion abließt, wann welche Menge in den Behälter zu- beziehungsweise abläuft, sieht man deutlich, das sich der Füllstand nach der berechneten Funktion ändern muss. Auf Grund des Vergleichs der Ein- und Ausgangsfunktion und der Formel wird auch ganz deutlich, wie sich später auch noch in der Ortskurve zeigt, das die Phasenverschiebung φ = -90° ist.

Übergangsfunktion

Jetzt wird die Gleichung der Sprungantwort wieder genutzt.

x_a = K_I x_e t

Wenn man die Gleichung umstellt, erhält man die Übergansfunktion in der allgemeinen Form:

x_a / x_e = K_I · t

Als Funktion dargestellt:

Frequenzgang

Der Frequenzgang wird durch die Transformation der Differentialgleichung ermittelt. Die Tabelle ist HIER
Die Differentialgleichung war:

x_a = K_I ∫x_e dt

Nach der Transformation erhält man:

Darstellung des Frequenzganges in der Ortskurve: Im Frequenzgang ist 1/iω enthalten. Der Nenner muss reell gemacht werden.
Da i² = -1 und (-1)² = 1,
wird mit -1 · i² = 1 multipliziert.
Dadurch kommt man auf folgende Formel:

F(iω) = (K_I / ω) · i

Diese Gleichung enthält nut einen Imaginäranteil.
Durch Grenzwertrechnung erhält man:
Bei ω = 0 einen Frequenzgang von -∞i.
Bei ω → ∞ einen Frequenzgang von → 0.
Damit ergibt sich folgende Ortskurve:

Beim I₀-Glied wird das Eingangssignal integriert, daher auch der Name. Bei diesen Glied ist das Eingangssignal und die Änderungsgeschwindigkeit des Ausgangssignals direkt proportional. Bei dem I₀-Glied ist der Ausgang nur imaginär, dass heißt der Ausgang hat keinen Reellen Anteil, und die Phasenverschiebung φ ist immer -90°, das auch -π/2 entspricht.

D₀-Glied

Um das D₀-Glied zu erklären werden ich einen Tachodynamo benutzen. Bei ihm ist die Drehzahl n und die abgegebene Spannung U direkt proportional. Dies sind die Eigenschaften eines P₀-Gliedes.

U = K · n

Die Drehzahl kann auch als Winkelgeschwindigkeit ω dargestellt werden.

Wenn man die Gleichung umstellt nach der Drehzahl n erhält man:

Dies eingesetzt in die Spannungs- Drehzahl- Gleichung ergibt:

Damit ist die Spannung U proportional zur Änderungsgeschwindigkeit des Winkels α Wenn man also bei den Tachodynamo den Winkel α als Eingang x_e und die Spannung U als Ausgang x_a nimmt, ist der Tachodynamo ein D₀-Glied.

Differentialgleichung

Wenn für den differentiellen Übertragungsfaktor K_D gilt

erhält man für den Tachodynamo folgende Differentialgleichung:

In diese Gleichung für den Eingang x_e und für den Ausgang x_a eingesetzt ergibt die allgemeine Form der Differentialgleichung:

Sprungantwort

Die Sprungantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sprungeingang.
Sprungeingang:

Sprungantwort:
Die Differentialgleichung lautet:

Um die Sprungantwort zu ermitteln, braucht man die Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsgröße dx_e / dt.
Für t < 0 ist x_e konstant 0 , damit ist der Differentialquotient auch 0.
Für t > 0 ist x_e konstant x_e0, der Differentialquotient ist hier auch 0.
Für t = 0 ändert sich x_e von 0 auf x_e0, damit ist dx_e = x_e0, Wenn man jetzt x_e0 durch den Limes → 0 teilt, ergibt sich ein Differentialquotient von → ∞.
Das in die Differentialgleichung eingesetzt, ergibt für die Sprungantwort:

für t ≠ 0 : x_a = 0
für t = 0 : x_a → ∞

Anstiegsantwort

Die Anstiegsantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Anstiegseingang.
Anstiegseingang:

Anstiegsantwort:
Die Differentialgleichung lautet:

Wenn man für x_e dann x_e0 · t einsetzt, erhält man:

Die Gleichung aufgelöst ergibt die Anstiegsantwort:

x_a = K_D · x_e0

Sinusantwort

Wenn man die Differentialgleichung für den Sinuseingang löst ergibt sich der Sinusausgang.
Der Sinuseingang:

x_e = x_e0 sin(ωt)

Die Sinusantwort:
Die Differentialgleichung für das D₀-Glied lautet:

f(t)x_a = K_D · f(t)(dx_e/dt)

Für x_e den Sinuseingang eingesetzt ergibt:

f(t)x_a = K_D · d[x_e0sin(ωt)]/dt

Wenn man in der Gleichung das Differential auflöst, erhält man die Funktion für die Sinusantwort.

x_a = K_D · x_e0sin(ωt + 90°)

Übergangsfunktion
Die Übergangsfunktion ist der Quotient aus Ausgang und Eingang und wird anhand der Sprungantwort ermittelt. Die Sprungantwort ist bei t=0 unendlich und für t≠0 Null. Daraus ergibt sich mit Hilfe der Grenzwertrechnung, wie bei der Sprungantwort folgende Funktion:

x_a/x_e = ∞ für t = 0
x_a/x_e = 0 für t ≠ 0

Frequenzgang

Der Frequenzgang wird durch die Transformation der Differentialgleichung ermittelt. Die Tabelle dazu ist HIER.
Die Differentialgleichung lautet:

Daraus ergibt sich dann der Frequenzgang:

F(iω) = K_D iω

Aus der Formel wird ersichtlich das der Frequenzgang keinen Realanteil hat.
Für ω = 0 ergibt sich ein Frequenzgang von 0.
Für ω → ∞ ergibt sich ein Frequenzgang von + ∞.
Aus den Frequenzgang wird damit folgende Ortskurve abgeleitet:

Beim D₀Glied wird das Eingangssignal differenziert.
Bei diesen Glied ist die Änderungsgeschwindigkeit des Eingangs und der Ausgang proportional. Der Ausgang kann nur imaginäre Werte annehmen und die Phasenverschiebung φ ist immer +90° oder anders ausgedrückt +π/2.

Hier geht es zum 2.Teil der stetig linearen Grundglieder